Sans les calculer, expliquer pourquoi les déterminants suivants sont nuls :

  1. \(\Delta_1=\left| \begin{array}{ccc} 0&-1&10 \\ 0&2&5 \\ 0&1&1 \end{array} \right|\)

  2. \(\Delta_2=\left| \begin{array}{ccc} -1&2&3\\ 1&-2&5 \\ 1&-2&2 \end{array} \right|\)

  3. \(\Delta_3=\left| \begin{array}{ccc} 2&-1&3 \\ -1&2&-3 \\ 3&1&2 \end{array} \right|\)

  4. \(\Delta_4=\left| \begin{array}{ccc} 1&2&1 \\ 0&0&3\\ 0&0&1 \end{array} \right|\)

  5. \(\Delta_5=\left| \begin{array}{ccc} 1 & a &b+c \\ 1 & b &c+a \\ 1 & c &a+b \end{array} \right|\)

  6. \(\Delta_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos 2x & 2\cos^2 x \\ 1 & -\cos 2x & 2\sin^2 x \\ \cos x \sin x & \cos x \sin x &\sin 2x \end{array} \right|\)


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[ID: 1571] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 128
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36
  1. Une colonne de \(\Delta_1\) est nulle donc \(\Delta_1=0\).

  2. Les deux premières colonnes de \(\Delta_2\) sont proportionnelles, donc \(\Delta_2=0\).

  3. La première colonne de \(\Delta_3\) est somme des deux autres donc \(\Delta_3=0\).

  4. \(\Delta_4\) étant diagonale, le déterminant \(\Delta_4\) est égal au produit de ces termes diagonaux. Un de ceux-ci étant nul, il en est de même de \(\Delta_4\).

  5. \(\Delta_5 \xlongequal{C_3 \rightarrow C_2+C_3} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a &a+b+c \\ 1 & b &a+b+c \\ 1 & c &a+b+c \end{array} \right|\) et les première et troisième colonnes de \(\Delta_5\) sont proportionnelles. Il vient \(\Delta_5=0\).

  6. La dernière colonne de \(\Delta_6\) est somme des deux autres donc \(\Delta_6=0\).


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