En variant les techniques utilisées (Règle de Sarrus, développement suivant une ligne, une colonne, en faisant apparaître des zéros,...) Calculer les déterminants suivants :

  1. \(\begin{vmatrix} 1&2&0\\ 0&1&6 \\ 2&4&2 \end{vmatrix}\)

  2. \(\begin{vmatrix} -3&2&9 \\ -1&0&-1 \\ 11&-5&-12 \end{vmatrix}\)

  3. \(\begin{vmatrix} 1&1&1 \\ 5&8&3 \\ 2&-1&2 \end{vmatrix}\)

  4. \(\begin{vmatrix} 1&-1&0\\ 5&-5&5\\ 2&1&3 \end{vmatrix}\)

  5. \(\begin{vmatrix} 3&4&-2 \\ 2&3&1 \\ 1&2&3 \end{vmatrix}\)

  6. \(\begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -1&3&4\\ -1&1&8 \end{vmatrix}\)


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[ID: 1569] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 112
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36
  1. On peut opérer sur les lignes : \(L_3 \longleftarrow L_3-2L_1\) et \(\begin{vmatrix} 1&2&0\\ 0&1&6 \\ 2&4&2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&2&0\\ 0&1&6 \\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 2\).

  2. En développant par rapport à la deuxième ligne :
    \(\begin{vmatrix} -3&2&9 \\ -1&0&-1 \\ 11&-5&-12 \end{vmatrix} = -1\times (-1)\times \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ -5 & -12 \end{vmatrix} + (-1)\times (-1)\times \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 11 & -5 \end{vmatrix} = (-24 + 45) + (15 - 22) = 21 - 7 = 14\).

  3. La présence des trois \(1\) à la première ligne incite à soustraire la première colonne aux deux autres :
    \(\begin{vmatrix} 1&1&1 \\ 5&8&3 \\ 2&-1&2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0 \\ 5&3&-2 \\ 2&-3&0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = -6\).

  4. En additionnant les colonnes : \(C_2 \longleftarrow C_2 + C_1\)
    \(\begin{vmatrix} 1&-1&0\\ 5&-5&5\\ 2&1&3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 5&0&5\\ 2&3&3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1&0&0\\ 5&5&0\\ 2&3&3 \end{vmatrix} = -15\).

  5. Avec la règle de Sarrus, alors ? \(\begin{vmatrix} 3&4&-2 \\ 2&3&1 \\ 1&2&3 \end{vmatrix} = 27 + 4 + 6 - 8 - 24 - 6 = -1\).

  6. \(L_2 \longleftarrow L_2+L_1\) et \(L_3 \longleftarrow L_3+L_1\) \(\begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -1&3&4\\ -1&1&8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ 0&4&2\\ 0&2&6 \end{vmatrix} = 24 - 4 = 20\).


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