Soit \(M = \left( \begin{array}{rrr} 8 & 2 &-2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{array}\right)\).

  1. Calculer \(M^2\).

  2. Déterminer le rang de \(M\).

  3. Soit \(A \in {\mathfrak M}_{3,2}(\mathbb C)\) et \(B \in {\mathfrak M}_{2,3}(\mathbb C)\) telles que \(AB = M\). Démontrer que \(BA = 9 I_2\).


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[ID: 1567] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 916
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:32
  1. \(M^2 = \left( \begin{array}{ccc} 64 + 4 + 4 & 16 + 10 - 8 & -16 + 8 -10 \\ 16 + 10 -8 & 4 + 25 + 16 & -4 + 20 + 20 \\ -16 + 8 -10 & -4 + 20 + 20 & 4 + 16 + 25 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 72 & 18 & -18 \\ 18 & 45 & 36 \\ -18 & 36 & 45 \end{array}\right) = 9M\).

  2. \(M\) est de rang 2. (\(4L_2 - L_1 = 4L_3 + L_1\)).

  3. \(AB\) est de rang 2, donc \(\mathop{\mathrm{rg}}(A) \geqslant 2\), donc \(\mathop{\mathrm{rg}}(A) = 2\). De même \(\mathop{\mathrm{rg}}(B) = 2\). Donc \(A\) est la matrice d’une application linéaire injective. \(\exists A' \in {\mathfrak M}_{2,3}(\mathbb C)\), telle que \(A'A = I_2\). De même \(B\) est la matrice d’une application linéaire surjective. \(\exists B' \in {\mathfrak M}_{3,2}(\mathbb C)\), telle que \(BB' = I_2\). Comme \(ABAB = 9AB\), on en déduit que \(A'ABABB' = 9A'ABB' = 9I_2I_2 = 9I_2\).


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