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Exercice 1020
Calculer le rang des applications linéaires suivantes :
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y-z,x,-z\right) \end{array} \right.\).
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(s,t\right) & \longmapsto & \left(s+t,2s-t,t\right) \end{array} \right.\).
\(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{2}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right.\).
\(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{3}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'-P \end{array} \right.\).
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[ID: 1565] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1020
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32
C’est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) qui est clairement de rang \(3\).
C’est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) qui est clairement de rang \(2\) en regardant les deux dernières lignes.
L’image de la base \((1,X,X^2)\) par \(\theta\) est \((0,1,2X)\) qui est de rang \(2\). Donc \(\theta\) est de rang \(2\).
L’image de la base \((1,X,X^2,X^3)\) par \(\theta\) est \((-1,0,X^2,2X^3)\) qui est de rang \(3\). Donc \(\theta\) est de rang \(3\).
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