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Exercice 656
Calculer le rang des familles de vecteurs \(v=\left(v_1,v_2,v_3\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) suivantes avec :
\(v_1=\left(1,2,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,0\right)\), \(v_3=\left(1,1,1\right)\).
\(v_1=\left(1,1,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,1\right)\), \(v_3=\left(1,2,1\right)\).
\(v_1=\left(1,1,1\right)\), \(v_2=\left(1,2,1\right)\), \(v_3=\left(1,-1,1\right)\).
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[ID: 1563] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 656
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:32
On a très clairement une base de \(\mathbb{R}^3\). Le rang est \(3\).
\(v_1\) et \(v_2\) forment une famille libre. \(v_3 = v_1 + v_2\). Le rang est \(2\).
Le rang de la famille \(v\) est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\). En opérant sur les lignes, on obtient :
\(\begin{array}{ccc} &&\\ L_2&\leftarrow & L_2-L_1 \\ L_3&\leftarrow & L_3-L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Le rang est donc \(2\).
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