Calculer le rang des familles de vecteurs \(v=\left(v_1,v_2,v_3\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) suivantes avec :

  1. \(v_1=\left(1,2,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,0\right)\), \(v_3=\left(1,1,1\right)\).

  2. \(v_1=\left(1,1,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,1\right)\), \(v_3=\left(1,2,1\right)\).

  3. \(v_1=\left(1,1,1\right)\), \(v_2=\left(1,2,1\right)\), \(v_3=\left(1,-1,1\right)\).


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[ID: 1563] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 656
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:32
  1. On a très clairement une base de \(\mathbb{R}^3\). Le rang est \(3\).

  2. \(v_1\) et \(v_2\) forment une famille libre. \(v_3 = v_1 + v_2\). Le rang est \(2\).

  3. Le rang de la famille \(v\) est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\). En opérant sur les lignes, on obtient :
    \(\begin{array}{ccc} &&\\ L_2&\leftarrow & L_2-L_1 \\ L_3&\leftarrow & L_3-L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Le rang est donc \(2\).


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