Déterminer suivant la (ou les) valeur(s) du (des) paramètre(s) le rang des matrices :

  1. \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1-a&0&0\\ -1&2-a&1\\ 2&0&3-a \end{array} \right)\)

  2. \(B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array}\right)\).

  3. \(C=\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ \cos \theta &\cos 2\theta&\cos 3\theta\\ \cos 2\theta&\cos 3\theta&\cos 4\theta \end{array}\right)\).

  4. \(D=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{array}\right)\).

  5. \(E=\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ b&0&0&0&a \end{array}\right)\).


Barre utilisateur

[ID: 1561] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 593
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:32
  1. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{ccc} 1-a&0&0\\ -1&2-a&1\\ 2&0&3-a \end{array} \right) \xlongequal{\textrm{ transpo.} } \mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1-a&-1&2\\0&2-a&0\\0&1&3-a \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ si $a\neq 1$} } 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 2-a&0\\1&3-a \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ transpo.}}\\ 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 2-a&1\\0&3-a \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ si $a\neq 2$} } 2+\mathop{\mathrm{rg}}\left(3-a\right) \end{split}\end{aligned}\] De plus, on vérifie facilement que si \(a=1\) ou \(a=2\) alors \(\mathop{\mathrm{rg}}A=2\).Donc \(\mathop{\mathrm{rg}}A = \begin{cases} 2 &\textrm{ si } a =1,2 \quad \textrm{ ou} \quad 3\\ 3 &\textrm{ sinon } \end{cases}\).

  2. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array}\right) \xlongequal{\textrm{ transpo.}} \mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&b+c&bc\\1&c+a&ca\\1&a+b&ab \end{pmatrix} \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1 \end{array}} \mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&b+c&bc\\0&a-b&c\left(a-b\right)\\0&a-c&b\left(a-c\right) \end{pmatrix} =\\1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} a-b &c\left(a-b\right)\\ a-c&b\left(a-c\right) \end{pmatrix} \xlongequal{\textrm{ si $a\neq b$ et $a\neq c$}} 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&c\\1&b \end{pmatrix} =\begin{cases} 3 &\textrm{ si } b\neq c\\ 2 &\textrm{ si } b=c \end{cases} .\end{split}\end{aligned}\] En utilisant les symétries de la matrice, on en déduit que \(\mathop{\mathrm{rg}}B =\begin{cases} 1&\textrm{ si } a =b=c\\ 2&\textrm{ si deux parmi les trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont égaux et le troisième différent } \\ 3&\textrm{ si } b\neq c \quad \textrm{ et} \quad a\neq b \quad \textrm{ et} \quad a\neq c \end{cases}\)

  3. Si \(\theta\neq 0\left[\dfrac{\pi}{2}\right]\), \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ \cos \theta &\cos 2\theta&\cos 3\theta\\ \cos 2\theta&\cos 3\theta&\cos 4\theta \end{array}\right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2 - \cos \theta L_1\\L_3\leftarrow L_3-\cos 2\theta L_1\end{array}} \mathop{\mathrm{rg}} \left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &\cos 2\theta-\cos^2 \theta&\cos 3\theta-\cos \theta\cos 2\theta\\ 0&\cos 3\theta-\cos 2\theta\cos \theta&\cos 4\theta-\cos^2 2\theta \end{array}\right) =\\ \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &-\sin^2 \theta&-\sin 2\theta\sin \theta\\ 0&-\sin 2\theta\sin \theta&-\sin^2 2\theta \end{array}\right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow \dfrac{L_2}{-\sin\theta}\\L_3\rightarrow \dfrac{L_3}{-\sin 2\theta}\end{array}} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &\sin \theta&\sin 2\theta\\ 0&\sin \theta&\sin 2\theta \end{array}\right) \xlongequal{L_3\leftarrow L_3-L_2}\\ \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ 0 &\sin \theta&\sin 2\theta\\ 0&0&0 \end{array}\right)=2. \end{split}\end{aligned}\] Par ailleurs si \(\theta=0\left[\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(rg C=2\).

  4. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{array}\right) = \mathop{\mathrm{rg}} \left(\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{array}\right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow {L_2}-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1 \end{array}} \left(\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&b-a&b^2-a^2\\ 0&c-a&c^2-a^2 \end{array}\right) =1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} b-a&b^2-a^2\\c-a&c^2-a^2 \end{pmatrix}\\ \xlongequal{\textrm{ si $b\neq a$ et $c\neq a$}} 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix} 1&b+a\\1&c+a\end{pmatrix} \xlongequal{L_2\leftarrow L_2-L_1} 1+\mathop{\mathrm{rg}}\begin{pmatrix}1&b+a\\0&c-b\end{pmatrix} =2+\mathop{\mathrm{rg}}\left(c-b\right)=\begin{cases} 3&\textrm{ si } c\neq b\\ 2&\textrm{ si } c=b\end{cases}\end{split}\end{aligned}\] En utilisant les symétries de la matrice, on en déduit que \(\mathop{\mathrm{rg}}D =\begin{cases} 1&\textrm{ si } a =b=c\\ 2&\textrm{ si deux parmi les trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont égaux et le troisième différent } \\ 3&\textrm{ si } b\neq c \quad \textrm{ et} \quad a\neq b \quad \textrm{ et} \quad a\neq c \end{cases}\).

  5. Supposant \(a\neq 0\) et \(b\neq 0\) : \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ b&0&0&0&a \end{array}\right) \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5-b L_1 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&-b^2&0&0&a^2 \end{array}\right) \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5+b^2 L_2 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&0&b^3&0&a^3 \end{array}\right)\\ \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5-b^3 L_3 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&0&0&-b^4&a^4 \end{array}\right) \xlongequal{L_5 \leftarrow aL_5+b^4 L_4 } \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ 0&0&0&0&b^5+a^5 \end{array}\right) =\begin{cases}5 &\textrm{ si } a^5+b^5 \neq 0 \\ 4 &\textrm{ si } a^5+b^5 = 0\end{cases} \end{split}\end{aligned}\] En résumé, (et dans le cas où \(a\) et \(b\) sont réels) : \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(E\right)=0\) si \(a\) et \(b\) sont non nuls. \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(E\right)=5\) si \(a\) ou \(b\) est nul mais pas en même temps. \(\mathop{\mathrm{rg}}{E}=4\) si \(a=1\) et \(b=-1\) ou si \(a=-1\) et \(b=1\). Dans tous les autres cas \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(E\right)=5\).


Documents à télécharger