Déterminer le rang des matrices suivantes :

  1. \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 2&1&0\\ -1&1&0 \end{array} \right)\)

  2. \(B= \left( \begin{array}{cccc} 1&-1&0&2\\ 2&-1&1&-1\\ 3&2&0&1\\ 4&3&-1&1 \end{array} \right)\)

  3. \(C= \left( \begin{array}{cccccc} 2&2&1&0&1&1\\ 1&2&1&0&-1&2\\ 2&3&1&-1&0&1\\ -1&0&1&2&3&1 \end{array} \right)\)


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[ID: 1559] [Date de publication: 29 mars 2021 18:32] [Catégorie(s): Rang d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1040
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:32
  1. \[\begin{aligned} \begin{split} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 2&1&0\\ -1&1&0 \end{array} \right) \xlongequal{C_1 \leftrightarrow C_3} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} -1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&1&-1 \end{array} \right) \xlongequal{L_3 \leftarrow L_3-L_2} \mathop{\mathrm{rg}}\left(\begin{array}{ccc} -1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&0&-3 \end{array} \right) =\boxed{3}\end{split}\end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&0&2\\ 2&-1&1&-1\\ 3&2&0&1\\ 4&3&-1&1 \end{array} \right) \xlongequal{C_1 \leftrightarrow C_3} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 0&-1&1&2\\ 1&-1&2&-1\\ 0&2&3&1\\ -1&3&4&1 \end{array} \right) \xlongequal{L_1 \leftrightarrow L_2} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&2&3&1\\ -1&3&4&1 \end{array} \right) \xlongequal{L_4\leftarrow L_4+L_1 }\\ \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&0&2\\ 0&2&3&1\\ 0&2&6&0 \end{array} \right) \xlongequal{ L_4\leftarrow L_4/2 } \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&2&3&1\\ 0&1&3&0 \end{array} \right) \xlongequal{\begin{array}{c}L_3\rightarrow L_3+2L_2\\L_4\rightarrow L_4+L_2\end{array} } \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&3&5\\ 0&0&5&2 \end{array} \right) \xlongequal{ L_4\leftarrow L_4-{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 3}L_3 } \\ \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&2&-1\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&3&5\\ 0&0&0&-{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 3} \end{array} \right)=\boxed{4}\end{split}\end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \begin{split}\mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} 2&2&1&0&1&1\\ 1&2&1&0&-1&2\\ 2&3&1&-1&0&1\\ -1&0&1&2&3&1 \end{array} \right) \xlongequal{C_1 \leftrightarrow C_4} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} 0&2&1&2&1&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ -1&3&1&2&0&1\\ 2&0&1&-1&3&1 \end{array} \right) \xlongequal{L_1 \leftrightarrow L_3} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&2&1&2&1&1\\ 2&0&1&-1&3&1 \end{array} \right)\\ \xlongequal{L_4 \leftarrow L_4+2L_1} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&2&1&2&1&1\\ 0&6&3&3&3&3 \end{array} \right) \xlongequal{L_4 \leftarrow L_4/3} \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&2&1&2&1&1\\ 0&2&1&1&1&1 \end{array} \right)\\ \xlongequal{\begin{array}{c}L_3\leftarrow L_3-L_2\\L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array} } \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{cccccc} -1&3&1&2&0&1\\ 0&2&1&1&-1&2\\ 0&0&0&1&2&-1\\ 0&0&0&0&2&-1 \end{array} \right) = \mathop{\mathrm{rg}}\left( \begin{array}{ccccc} -1&3&0&2&1\\ 0&2&-1&1&2\\ 0&0&2&1&-1\\ 0&0&2&0&-1 \end{array} \right) =\boxed{4}\end{split}\end{aligned}\] On a supprimé la troisième colonne, combinaison linéaire des deux premières.


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