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Matrice vérifiant \(A^k = I\)
Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(A^k = I\) avec \(k\neq 0\) et \(k\neq \mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\). On pose \(B = I + A + A^2 +\dots+ A^{k-1}\). Soient \(u,v\) les endomorphismes de \(\mathbb{K}^n\) matrices \(A\) et \(B\) dans la base canonique.
Montrer : \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits) = \mathop{\rm Im}\nolimits v\), \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits) = \mathop{\rm Ker}\nolimits v\), \(\mathop{\rm Ker}\nolimits v \oplus \mathop{\rm Im}\nolimits v = \mathbb{K}^n\).
En déduire : \(\mathop{\rm tr}\nolimits B = k\mathop{\rm rg}\nolimits B\).
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[ID: 4639] [Date de publication: 11 avril 2024 17:48] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Matrice vérifiant \(A^k =
I\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:48
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:48
\(u_{|\mathop{\rm Im}\nolimits v} = \mathop{\rm id}\nolimits\Rightarrow \mathop{\rm tr}\nolimits(u_{|\mathop{\rm Im}\nolimits v}) = \mathop{\rm rg}\nolimits v \Rightarrow \mathop{\rm tr}\nolimits(v_{|\mathop{\rm Im}\nolimits v}) = k\mathop{\rm rg}\nolimits v\).
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