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Forme bilinéaire trace
Soit \(A \in \mathcal M _{n,p}(\mathbb{K})\) non nulle. Montrer que l’application \(f_A : \mathcal M _{p,n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}, X \mapsto \mathop{\rm tr}\nolimits(AX)\) est une forme linéaire non nulle sur \(\mathcal M _{p,n}(\mathbb{K})\).
Réciproquement : Soit \(\varphi :\mathcal M _{p,n}(\mathbb{K})\to \mathbb{K}\) une forme linéaire quelconque. Montrer qu’il existe une unique matrice \(A \in \mathcal M _{n,p}(\mathbb{K})\) telle que \(\varphi = f_A\) (on pourra considérer l’application \(A \mapsto f_A\)).
Soit \(\varphi :\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \to \mathbb{K}\) une forme linéaire vérifiant : \(\forall X,Y \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) ,\ \varphi (XY) = \varphi (YX)\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(\varphi = \lambda \mathop{\rm tr}\nolimits\).
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[ID: 4638] [Date de publication: 11 avril 2024 17:48] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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