Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) avec \(n\geq 2\).

  1. Montrer qu’il existe \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(H = \{ M \text{ tq }\mathop{\rm tr}\nolimits(AM) = 0\}\).

  2. En déduire que \(H\) contient une matrice inversible.

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[ID: 4636] [Date de publication: 11 avril 2024 17:48] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Tout hyperplan de \(\mathfrak M_n (\mathbb K)\) contient une matrice inversible
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:48

  1. Si \(A\) est diagonale : \(M = \begin{pmatrix}0 &\dots&0 &1 \\ 1 &\ddots & &0 \\ &\ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & &1 &0 \\\end{pmatrix}\). Si \(a_{kl } \neq 0\) : \(M = I - \dfrac {\mathop{\rm tr}\nolimits A}{a_{kl }}E_{l k}\).

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