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Matrices de trace nulle
Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle et \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) non scalaire telle que \(\mathop{\rm tr}\nolimits M = 0\).
Montrer qu’il existe une matrice colonne \(X_{1}\) telle que \(MX_{1}\) ne soit pas colinéaire à \(X_{1}\).
En déduire que \(M\) est semblable à une matrice \(N = \begin{pmatrix}0&\dots\\\vdots &M_{1}\end{pmatrix}\) où \(M_{1} \in \mathcal M _{n-1}(\mathbb{K})\) et \(\mathop{\rm tr}\nolimits M_{1} = 0\).
Montrer que \(M\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.
En utilisant l’exercice [commdiag], montrer qu’il existe \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telles que \(M = AB-BA\).
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[ID: 4635] [Date de publication: 11 avril 2024 17:48] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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