Soient deux matrices \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note \[= \mathop{\mathrm{Tr}}(A{B}^{\mathrm{T}})\]

  1. Calculer \(\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\).

  2. Vérifier que \(=<B,A>\)

  3. On note \(\left\| A \right\| = \sqrt{ <A,A> }\). Montrer que \(\left\| A \right\| = 0 \Longleftrightarrow A=0\).

  4. Montrer que \(A\mapsto <A,B>\) et \(B\mapsto <A,B>\) sont des formes linéaires sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\).

  5. Montrer que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).

On a prouvé que \(\) est un produit scalaire sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\), voir le chapitre [chap_prod_scal]. L’inégalité prouvée dans la dernière question n’est autre que celle de Cauchy-Schwarz. Voir le théorème [Cauchy-Schwarz] page [Cauchy-Schwarz].


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[ID: 1557] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Un produit scalaire sur l’espace des matrices carrées
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26
  1. On utilise la formule du produit matriciel. Si \(A=\left(a_{ij}\right)\) et si \(B=\left(b_{ij}\right)\) Pour tout \(i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\left[A {B}^{\mathrm{T}}\right]_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{jk}\) donc \(\boxed{<A,B>=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A {B}^{\mathrm{T}}\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ik}}\).

  2. C’est évident d’après la formule précédente.

  3. On utilise à nouveau la formule précédente : \(\left\|A\right\|^2=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}^2\). Le résultat en découle immédiatement.

  4. On montre facilement la linéarité de \(A\mapsto <A,B>\) en utilisant la linéarité de \(\mathop{\mathrm{Tr}}\). D’après la question 2., \(B\mapsto <A,B>\) est aussi linéaire.

  5. Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \[0\leqslant\left\|A+tB\right\|^2=<A+tB,A+tB>=\left\|B\right\|^2 t^2 +2<A,B>t+\left\|A\right\|^2 .\] On obtient ainsi un trinôme du second degré en \(t\). Son discriminant est \(\Delta= <A,B>^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\). Comme ce trinôme est positif, il admet au plus une racine réelle et donc \(\Delta\leqslant 0\). On en déduit que \(^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\leqslant 0\) et donc que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).


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