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[ID: 1557] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Un produit scalaire sur l’espace des matrices carrées
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:26

1. On utilise la formule du produit matriciel. Si \(A=\left(a_{ij}\right)\) et si \(B=\left(b_{ij}\right)\) Pour tout \(i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\left[A {B}^{\mathrm{T}}\right]_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{jk}\) donc \(\boxed{<A,B>=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A {B}^{\mathrm{T}}\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ik}}\).

2. C’est évident d’après la formule précédente.

3. On utilise à nouveau la formule précédente : \(\left\|A\right\|^2=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}^2\). Le résultat en découle immédiatement.

4. On montre facilement la linéarité de \(A\mapsto <A,B>\) en utilisant la linéarité de \(\mathop{\mathrm{Tr}}\). D’après la question 2., \(B\mapsto <A,B>\) est aussi linéaire.

5. Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \[0\leqslant\left\|A+tB\right\|^2=<A+tB,A+tB>=\left\|B\right\|^2 t^2 +2<A,B>t+\left\|A\right\|^2 .\] On obtient ainsi un trinôme du second degré en \(t\). Son discriminant est \(\Delta= <A,B>^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\). Comme ce trinôme est positif, il admet au plus une racine réelle et donc \(\Delta\leqslant 0\). On en déduit que \(^2-\left\|A\right\|^2\left\|B\right\|^2\leqslant 0\) et donc que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).