Trouver toutes les formes linéaires \(\varphi\) sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \[\forall (A,B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2, \quad\varphi(AB) = \varphi(BA)\]


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[ID: 1555] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 907
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

Soit \(\varphi\) une telle forme linéaire. Avec des matrices élémentaires, il vient pour tout \(i,j,k,\ell\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\varphi\left(E_{ij}E_{kl}-E_{kl}E_{ij}\right)=0\) soit \(\varphi\left(\delta_{jk}E_{il}-\delta_{\ell i}E_{kj}\right)=0\). Si \(j=k\) et \(i\neq \ell\) il s’ensuit que \(\varphi\left(E_{i\ell}\right)=0\). Et si \(j=k\) et \(i= \ell\) alors \(\varphi\left(E_{ii}-E_{jj}\right)=0\). Donc \(\varphi\) est nulle sur tous les vecteurs \(E_{i\ell}\) de la base canonique tel que \(i\neq \ell\) et constante sur ceux tels que \(i=\ell\). On en déduit que pour une matrice \(A=\left(a_{ij}\right)\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) alors \(\varphi\left(A\right)= \gamma \sum_{i=1}^n a_{ii}=\gamma \mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)\)\(\gamma=\varphi\left(E_{11}\right)\). Donc \(\varphi\in\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\mathop{\mathrm{Tr}}\right)\). Réciproquement, si \(\varphi\) est proportionnelle à la trace, alors \(\varphi\) vérifie \(\forall (A,B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2, \quad\varphi(AB) = \varphi(BA)\).


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