Soit deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\). On suppose que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K}) \quad\mathop{\mathrm{Tr}}(AX)=\mathop{\mathrm{Tr}}(BX)\] Montrer que \(A=B\).


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[ID: 1551] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 177
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

Si \(A=((a_{i,j})\) et \(X=((x_{i,j}))\), on calcule \[\mathop{\mathrm{Tr}}(AX) = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{i,k}x_{k,i}\] En prenant \(X= E_{pq}\), on a \(x_{k,i}=\delta_{k,p}\delta_{i,q}\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}(AX)= a_{q,p}\), donc \(\forall q,p\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(a_{q,p}=b_{q,p}\) et par suite \(A=B\).


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