Soit \((A,B)\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{R} \right)^2\) vérifiant \(AB-BA=B\).

Démontrer que \(\forall k\in\mathbb{N}^*,\; \mathop{\mathrm{Tr}}(B^k) = 0\).


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[ID: 1549] [Date de publication: 29 mars 2021 18:26] [Catégorie(s): Trace d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 527
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:26

On démontre par récurrence : \(H_k : AB^k - B^kA = kB^k\). On a \(H_1\) par hypothèse. D’autre part \[AB^{k+1}-B^{k+1}A = (AB^k - B^kA)B + B^k(AB-BA) = kB^kB + B^kB = (k+1)B^{k+1}.\] En prenant la trace, on obtient le résultat.


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