1. Soient \(A_{1} \in \mathcal M _{n,p_{1}}(\mathbb{K})\), \(A_{2} \in \mathcal M _{n,p_{2}}(\mathbb{K})\), \(B_{1} \in \mathcal M _{p_{1},q}(\mathbb{K})\), \(B_{2} \in \mathcal M _{p_{2},q}(\mathbb{K})\).

    On pose \(A = \begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}\end{pmatrix} \in \mathcal M _{n,p_{1}+p_{2}}(\mathbb{K})\) et \(B = \begin{pmatrix}B_{1}\\ B_{2}\end{pmatrix} \in \mathcal M _{p_{1}+p_{2},q}(\mathbb{K})\).

    Montrer que \(AB = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2}\).

  2. Soit \(M = \begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C\end{pmatrix}\) où \(A,B,0,C\) sont des matrices de tailles \(p\times p\), \(p\times q\), \(q\times p\), \(q\times q\) (matrice triangulaire par blocs). Montrer que \(M\) est inversible si et seulement si \(A\) et \(C\) le sont. Le cas échéant, donner \(M^{-1}\) sous la même forme.

  3. En déduire une démonstration de la propriété : L’inverse d’une matrice triangulaire est triangulaire.

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[ID: 4641] [Date de publication: 11 avril 2024 17:49] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Opérations par blocs
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:49

  1. \(M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BC^{-1}\\ 0&C^{-1}\end{pmatrix}\).

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