On considère deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathfrak{M}_{2}\left((\right)\mathbb{R} )\), et \(C=AB\).

  1. Calculer le nombre d’additions, puis de multiplications nécessaires au calcul de \(C\).

  2. On pose : \(S_1 = a_{2,1} - a_{1,1};\; S_2 = a_{1,1} + a_{1,2};\; S_3 = a_{1,2} - S_{1};\; S_4 = a_{2,2} - S_{3};\; S_5 = b_{2,2} - b_{1,2};\; S_6 = b_{1,2} - b_{1,1};\; S_7 = b_{1,1} + S_{5};\; S_8 = b_{2,1} - S_{7}\).
    \(P_1 = a_{2,1}b_{1,1};\; P_2 = a_{2,2}b_{2,1};\; P_3 = S_{1}S_{5};\; P_4 = S_{2}S_{6};\; P_5 = S_{4}b_{2,2};\; P_6 = a_{1,2}S_{8};\; P_7 = S_{3}S_{7}\). Enfin \(S_9 = P_1 + P_7;\; S_{10} = S_9 + P_3;\; S_{11} = P_4 + P_5\).
    Démontrer que \(c_{1,1} = S_{10} + P_6;\; c_{1,2} = S_{10} + P_4;\; c_{2,1} = P_1 + P_2;\; c_{2,2} = S_9 + S_{11}\).

  3. Calculer le nombre d’additions, puis de multiplications nécessaires au calcul de \(C\) par cette nouvelle méthode.

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[ID: 1545] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 341
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

  1. Il y a \(4\) coefficients à calculer. Pour chacun d’eux il y a deux multiplications et une addition. Soit \(8\) multiplications et \(4\) additions.

  2. \(S_{10} + P_6 = S_9 + P_3 + a_{1,2}S_{8} = P_1 + P_7 + S_{1}S_{5} + a_{1,2}( b_{2,1} - S_{7}) = a_{2,1}b_{1,1} + S_{3}S_{7} + (a_{2,1} - a_{1,1})(b_{2,2} - b_{1,2}) + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}(b_{1,1} + S_{5}) = a_{2,1}b_{1,1} + (a_{1,2} - S_{1})(b_{1,1} + S_{5}) + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1} b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}(b_{2,2} - b_{1,2}) = a_{2,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{1,1} + a_{1,2}(b_{2,2} - b_{1,2}) - (a_{2,1} - a_{1,1})b_{1,1} - (a_{2,1} - a_{1,1})(b_{2,2} - b_{1,2}) + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1} b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1} b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,2}b_{1,2} = a_{2,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,2} - a_{1,2}b_{1,2} - a_{2,1}b_{1,1} + a_{1,1}b_{1,1} - a_{2,1}b_{2,2} + a_{2,1}b_{1,2} + a_{1,1}b_{2,2} - a_{1,1}b_{1,2} + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1} b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,2}b_{1,2} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,1}b_{2,2} - a_{1,1}b_{1,2} - a_{1,1} b_{2,2} + a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,2} - a_{1,2}b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,1} - a_{1,2}b_{1,1} - a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,2}b_{1,2} + a_{2,1}b_{1,1} - a_{2,1}b_{1,1} - a_{2,1}b_{2,2} + a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,1} b_{2,2} - a_{2,1}b_{1,2} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2} b_{2,1} + 0 = c_{1,1}\). Les trois autres calculs sont tout aussi jubilatoires.

  3. Il y a \(7\) multiplications et \(11\) additions. Le deuxième algorithme est plus rapide dès qu’une addition est \(7\) fois plus rapide qu’une addition. Dans ce cas on constate que le gain en rapidité est au détriment de la place mémoire utilisée.

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