Déterminer toutes les formes linéaires \(\varphi\) sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant : \[\forall A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad\varphi(AB)=\varphi(B{A}^{\mathrm{T}})\]


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[ID: 1543] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 787
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23

Remarque : Si \(n=1\), alors toutes les formes linéaires conviennent.
On prend \(n>1\). Une forme linéaire est définie par ses images des vecteurs d’une base, donc ici les \(\varphi\left( E_{i,k}\right)\).
Or \(E_{i,k} = E_{i,j}E_{j,k}\) donc en choisissant \(A = E_{i,j}\) et \(B=E_{j,k}\) avec \(k\neq j\) (c’est possible puisque \(n>1\)) on a \(B{A}^{\mathrm{T}} = E_{j,k}E_{j,i} = 0\). Donc \(\varphi\left( E_{i,k}\right) = 0\) et \(\varphi\) est la forme nulle.


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