Soit deux matrices colonnes non nulles \(X, Y \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

  1. Montrer que la matrice \(X{Y}^{\mathrm{T}}\) est de rang \(1\).

  2. Montrer que toute matrice carrée \(A\) de rang \(1\) peut s’écrire sous la forme ci-dessus.

  3. Soit une matrice \(A\in\mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{R})\) de rang \(1\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \[A^2 = \lambda A\] et exprimer \(\lambda\) en fonction de \(X\) et \(Y\).


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[ID: 1541] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 875
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23
  1. Le rang de \(X\) et de \({Y}^{\mathrm{T}}\) égale \(1\) donc le rang du produit est \(\leqslant 1\). Par exemple parce que toutes les lignes (ou les colonnes) sont proportionnelles, ou bien parce que si \(u\) et \(v\) sont deux applications linéaires, \(u\circ v\) (si elle existe) a un rang inférieur au rang de \(u\). Le rang de \(X{Y}^{\mathrm{T}}\) n’est pas \(0\) manifestement.

  2. Comme \(A\neq0\), on choisit un élément \(a_{ij}\neq0\). Comme \(A\) est de rang \(1\), toutes les lignes sont proportionnelles à la \(i\)-ème ligne : \(L_k = \alpha_k L_i\). Donc on peut prendre \(X = (\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},1,\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_n)\) et \(Y = (a_{i1},\ldots,a_{in})\).

  3. On écrit \(A = X{Y}^{\mathrm{T}}\), d’où \(A^2 = AA = X{Y}^{\mathrm{T}}X{Y}^{\mathrm{T}}\). Comme \({Y}^{\mathrm{T}}X\) est un réel, il commute à \(X\). Donc \(AA = ({Y}^{\mathrm{T}}X)X{Y}^{\mathrm{T}} = ({Y}^{\mathrm{T}}X)A\). On peut donc prendre \(\lambda = {Y}^{\mathrm{T}}X\).


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