Soient deux matrices \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que : \[\forall C \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad ACB=0\] Montrer que \(A=0\) ou \(B=0\).


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[ID: 1539] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 782
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23

On traduit l’énoncé avec des endomorphismes : Soit \(u,v\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)\) tels que \(\forall w\in\mathcal L(\mathbb{R}^n),\; u\circ w\circ v =0\). Démonter que \(u=0\) ou \(v=0\).
Par contraposée : Supposons \(u\neq0\) et \(v\neq0\). Donc \(\exists x\in\mathbb{R}^n\) tel que \(z = v(x)\neq0\) et \(\exists y\in\mathbb{R}^n\) tel que \(u(y)\neq0\). On construit alors \(w\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)\) tel que \(w(z) = y\). On a alors \((u\circ w\circ v)(x) = u(y)\neq0\). Donc \(u\circ w\circ v\neq0\).


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