On définit pour \(i \neq j\), la matrice \(T_{ij}^{\lambda} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) par \[T_{ij}^{\lambda} = I+\lambda E_{i,j}\] Soit une matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). Calculer \(AT_{ij}^{\lambda}\) et \(T_{ij}^{\lambda}A\). Interpréter le résultat trouvé.


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[ID: 1535] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 664
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23

Soit \(e_i\) les vecteurs colonnes de la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). On a \(T_{ij}^{\lambda} e_k = e_k\) pour \(k\neq i\) et \(T_{ij}^{\lambda} e_j = e_j + \lambda e_i\). On en déduit que la \(k\)-ième colonne de la matrice de \(AT_{ij}^{\lambda}\) est \(AT_{ij}^{\lambda}e_k = Ae_k\) pour \(k\neq i\) et \(AT_{ij}^{\lambda} e_j = Ae_j + \lambda Ae_i\). Moralité : la matrice \(AT_{ij}^{\lambda}\) est obtenue en ajoutant \(\lambda\) fois la \(i\)-ème colonne de \(A\) à sa \(j\)-ème colonne.
De même (par exemple en transposant) la matrice \(T_{ij}^{\lambda}A\) est obtenue en ajoutant \(\lambda\) fois la \(j\)-ème ligne de \(A\) à sa \(i\)-ème ligne.
Moralité : Lorsqu’on multiplie à gauche (par une matrice \(T_{ij}^{\lambda}\)) on agit sur les lignes. Quelle action ? Il suffit de le voir sur la matrice \(I_n\).


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