On considère la matrice \[J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & \mathbb{O}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ & &0 & 1 \\ \mathbb{O}& \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}\] Calculer \({J}^{\mathrm{T}}J\), et \(J{J}^{\mathrm{T}}\).


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[ID: 1533] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 763
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23

On considère \(\mathcal B = (e_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) défini par \(u(e_1) = 0\) et \(u(e_i) = e_{i-1}\) pour \(i\geqslant 2\). \(J\) est la matrice de \(u\) dans \(\mathcal B\). \({J}^{\mathrm{T}}\) est la matrice de \(v\) dans \(\mathcal B\), avec \(v(e_i) = e_{i+1}\) pour \(i\leqslant n-1\) et \(v(e_n) = 0\). \({J}^{\mathrm{T}}J\) est la matrice de \(v\circ u\) dans \(\mathcal B\). On a \(v\circ u(e_1) = 0\) et \(v\circ u(e_i) = v(e_{i-1}) = e_i\). Donc \[{J}^{\mathrm{T}}J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots& \dots& \dots& 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots& \dots& \vdots \\ \vdots & 0 & 1 & 0 & \dots& \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \dots& \dots& 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \textrm{ de même } \qquad J{J}^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots& \dots& \dots& 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots& \dots& \vdots \\ \vdots & 0 & 1 & 0 & \dots& \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & \ddots & \ddots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots& \dots& 0 & 0 \end{pmatrix}\]


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