Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.


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[ID: 1531] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 151
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23

Soit \(C=AB\), où \(A = \left( a_{i,j}\right)_{\substack{ 1\leqslant i \leqslant n\\ 1\leqslant j \leqslant n}}\) et \(B = \left( b_{i,j}\right)_{\substack{ 1\leqslant i \leqslant n\\ 1\leqslant j \leqslant n}}\) sont deux matrices carrées symétriques. On a \(c_{i,j}=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j} = \sum_{k=1}^n a_{k,i} b_{j,k} = \sum_{k=1}^n b_{j,k} a_{k,i} = c'_{j,i}\) avec \(C'=BA\). Donc \(c_{i,j}=c_{j,i}\) si et seulement si \(C = C'\) c’est-à-dire lorsque \(A\) et \(B\) commutent.
Plus synthétiquement : \({(AB)}^{\mathrm{T}} = {B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}} = BA\) car \(A = {A}^{\mathrm{T}}\) et \(B = {B}^{\mathrm{T}}\). Donc \({(AB)}^{\mathrm{T}} = AB\) si et seulement si \(AB = BA\).


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