Soit une matrice \(A=((a_{i,j}))\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et deux indices \((k,l) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\).

  1. Déterminer les matrices \(AE_{k,l}\) et \(E_{k,l}A\).

  2. Trouver toutes les matrices \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant : \(\forall B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) , \quad AB=BA\).


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[ID: 1529] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 652
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23
  1. On sait que \(A=\sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j}E_{ij}\) donc \[AE_{k,l} = \sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j}E_{i,j} E_{k,l}=\sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j} \delta_{j,k}E_{i,l}= \sum_{i=1\dots n} a_{i,k}E_{i,l}\] \[E_{k,l} A= \sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j} E_{k,l}E_{i,j}=\sum_{i,j=1\dots n} a_{i,j} \delta_{l,i}E_{k,j}= \sum_{j=1\dots n} a_{l,j}E_{k,j}\]

  2. Si pour tout \(B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(AB=BA\), alors en particulier, pour tout \(k,l\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(E_{k,l}A=AE_{l,k}\) et donc \(\sum_{i=1\dots n} a_{i,k}E_{i,l}=\sum_{j=1\dots n} a_{l,j}E_{k,j}\). Mais la famille \(\left(E_{i,j}\right)\) est libre donc cette égalité n’a lieu que si \(a_{i,k}=0\) pour \(i\neq k\) et si \(a_{i,i}=a_{j,j}\) pour tout \(i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), autrement dit que si \(A\) est scalaire. Réciproquement, si \(A\) est scalaire alors elle commute avec toutes les matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\).


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