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[ID: 1527] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 228
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:23

1. On vérifie facilement que \(E_{i,j}\times E_{k,\ell}=\delta_{j,k} E_{i,\ell}\)

2. Notons \(A=((a_{i,j}))\). Soit \(k\in \llbracket 1,n\rrbracket\). Comme \(A\) commute avec la matrice \(E_{k,k}\), on a \[AE_{k,k} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\] et \[E_{k,k}A = a_{i,j}E_{i,j}E_{k,k}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}E_{k,k}E_{i,j}\] et donc \[\sum_{i=1}^n a_{i,k}E_{i,k}=\sum_{j=1}^n a_{k,j}E_{k,j},\] Ceci pour tout indice \(k\).

   Comme le membre de gauche est une matrice nulle sauf peut-être sur la \(k\)-ième colonne et le membre de droite, une matrice nulle sauf peut-être sur la \(k\)-ième ligne. On en déduit que pour \(i\neq k\), \(a_{i,k}=0\) et donc que \(A\) est une matrice diagonale. La réciproque est claire.

3. Soit une matrice \(A = ((a_{i,j}))\) qui commute avec toutes les matrices symétriques. Soit \(k \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). La matrice \(E_{k,k}\) est symétrique, et on calcule \[AE_{kk} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}E_{i,j}E_{k,k} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} \delta_{j,k}E_{i,k} = \sum_{i=1}^n a_{i,k}E_{i,k}\] \[E_{kk}A = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} E_{k,k}E_{i,j} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} \delta_{k,i}E_{k,j} = \sum_{j=1}^n a_{k,j}E_{k,j}\] Par conséquent, les coefficients de la matrice \(AE_{k,k}\) sont nuls, sauf sur la \(k\)-ième colonne où ce sont les coefficients de la \(k\)-ième colonne de la matrice \(A\). De même, les coefficients de la matrice \(E_{kk}A\) sont tous nuls sauf sur la \(k\)-ième ligne, où l’on retrouve les coefficients de la matrice \(A\). Puisque \(AE_{k,k} = E_{k,k}A\), on en déduit que \(\forall (i, k) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(i \neq k \Rightarrow a_{i,k} = a_{k,i} = 0_{\mathbb{K} }\). La matrice \(A\) est donc nécessairement une matrice diagonale : \(A = \sum_{i=1}^n d_i E_{i,i}\).

   Considérons ensuite pour \((k, \ell) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(k \neq \ell\), la matrice symétrique \(S = E_{k,\ell} + E_{\ell, k}\). On calcule \[AS = \sum_{i=1}^n d_i E_{i,i}E_{k,\ell} + \sum_{i=1}^n d_i E_{i,i}E_{\ell, k} = d_k E_{k,\ell} + d_\ell E_{\ell, k}\] \[SA = \sum_{i=1}^n d_iE_{k,\ell}E_{i,i} + \sum_{i=1}^n d_iE_{\ell, k}E_{i,i} = d_\ell E_{k,\ell} + d_k E_{\ell, k}\] Puisque le système \((E_{k,\ell}, E_{\ell, k})\) est libre, on trouve que \(d_\ell = d_k\). En définitive, la matrice \(A\) doit être une matrice scalaire : \(\exists \alpha \in \mathbb{K}\) tel que \(A = \alpha I_n\). Réciproquement, une matrice scalaire commute avec toute matrice, donc avec toute matrice symétrique.