Soient les matrices  : \[A=\left(\begin{array}{ccc} -1&0&1\\ 0&2&-1\\ -2&1&0 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad B= \left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -1&0&2\\ 2&-1&2 \end{array}\right)\]

  1. Calculer : \(AB\) et \(BA\).

  2. Calculer : \({\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}\) et \({B}^{\mathrm{T}}\), \({A}^{\mathrm{T}}\) et \({B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}\).

  3. Calculer : \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(B\right)\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)\).

  4. Développer :\(\left(A+B\right)^2\).


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[ID: 1523] [Date de publication: 29 mars 2021 18:23] [Catégorie(s): Opérations sur les matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 745
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:23
  1. \(AB=\left( \begin {array}{ccc} 1&-2&1\\-4&1&2 \\-3&-2&0\end {array} \right)\) et \(BA=\left( \begin {array}{ccc} -3&3&0\\-3&2&-1 \\-6&0&3\end {array} \right)\). On remarque que \(AB\neq BA\).

  2. \({\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} 1&-4&-3\\-2&1&-2 \\1&2&0\end {array} \right)\), \({B}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} 1&-1&2\\1&0&-1 \\1&2&2\end {array} \right)\), \({A}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&-2\\0&2&1 \\1&-1&0\end {array} \right)\) et \({B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=\left( \begin {array}{ccc} 1&-4&-3\\-2&1&-2 \\1&2&0\end {array} \right) = {\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}\).

  3. \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)=1\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(B\right)=3\), \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)=2\) et \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)=2\). On a bien : \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)\)

  4. \(\left(A+B\right)^2=A^2+AB+BA+B^2 \neq A^2+2AB+B^2\) car \(AB\neq BA\). De manière plus générale, la formule du binôme ne s’applique pour développer \(\left(A+B\right)^n\) que si \(A\) et \(B\) commutent.


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