Déterminer dans \(\mathbb{R}[X]\) les polynômes \(P\) satisfaisant à \(n(n-1)P - (X^{2}-1)P" = 0. \quad (n\geqslant 2)\).

  1. Montrer que \(P\) est nécessairement nul ou de degré \(n\).

  2. Démontrer que l’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension \(1\).

  3. Démontrer que \(P\) est un polynôme de même parité que \(n\). En déduire la nullité de certains coefficients de \(P\).

  4. Établir une relation de récurrence entre les coefficients de \(P\), déterminer \(P\) et montrer que : \[1 + \displaystyle\sum_{2\leqslant 2q\leqslant n} (-1)^q \dfrac{\binom{n}{2q}\binom{n-1}{q}}{\binom{2n-2}{2q}} = 0.\]


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[ID: 1520] [Date de publication: 15 février 2021 14:55] [Catégorie(s): Endomorphismes opérant sur les polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 346
Par emmanuel le 15 février 2021 14:55
  1. Supposons que \(P\) est une solution non nulle et soit \(\lambda X^k\) son terme dominant. Comme les termes dominants de \(n(n-1)P\) et de \((X^{2}-1)P"\) sont égaux, on en déduit que \(\lambda n(n-1) = \lambda k(k-1)\) d’où \(n^2 - n = k^2 -k\) soit \((n-k)(n+k-1) = 0\) d’où \(n=k\) ce qu’il fallait vérifier.

  2. L’ensemble des solutions est le noyau de l’endomorphisme \(\varphi\) de \(\mathbb{R}_n[X]\) défini par :
    \(\varphi(P) = n(n-1)P - (X^{2}-1)P"\). D’après la question précédente, pour \(0\leqslant k\leqslant n-1\), \(\deg (\varphi(X^k)) = k\). Donc la famille \((\varphi(X^k))_{0\leqslant k\leqslant n-1}\) est une famille échelonnée en degrés. Elle engendre donc un un espace vectoriel de dimension \(n-1\). Donc la dimension de l’image de \(\varphi\) est supérieure ou égale à \(n-1\). De plus si \(\deg P = n\), alors \(\deg (\varphi(P)) \leqslant n-1\). Donc \(Im(\varphi) = \mathbb{R}_{n-1}[X]\) et la dimension du noyau de \(\varphi\) est donc égale à \(1\).

  3. Il est clair que si \(P\) est solution non nulle, alors \(Q = P(-X)\) est aussi solution, de même degré \(n\). \(Q- (-1)^nP\) appartient donc aussi à \(\operatorname{Ker}\varphi\). Comme son degré est \(< n\), c’est le polynôme nul. Ce qu’il fallait vérifier.
    On en déduit qu’en posant \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k\) on a \(a_{n-(2q+1)}=0\).

  4. En posant \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k\) on a \(P'' = \displaystyle\sum_{k=0}^n k(k-1)a_k X^{k-2} = \sum_{k=0}^{n-2} (k+2)(k+1)a_{k+2} X^{k}\) et \(XP'' = \displaystyle\sum_{k=0}^n k(k-1)a_k X^{k}\). Pour \(k = 0,\ldots,n-2\), le coefficient de degré \(k\) du polynôme \(n(n-1)P - (X^{2}-1)P"\) est nul,
    donc \(n(n-1)a_k - k(k-1)a_k + (k+2)(k+1)a_{k+2} = 0\), donc \(a_k = \dfrac{(k+2)(k+1)}{k(k-1)-n(n-1)} a_{k+2} = -\dfrac{(k+2)(k+1)}{(n-k)(n-k+1)} a_{k+2}\). En posant \(k = n-2q\), \(a_{n-2q} = - \dfrac{(n-2q+2)(n-2q+1)}{(2q)(2n-2q-1)} a_{n-2(q-1)}\),
    d’où \[a_{n-2q} = (-1)^q \underbrace{\dfrac{(n-2q+2)(n-2q+1)}{(2q)(2n-2q-1)}}_q \times \underbrace{\dfrac{(n-2q+4)(n-2q+3)}{(2q-2)(2n-2q+1)}}_{q-1} \times \ldots \times \underbrace{\dfrac{n(n-1)}{2(2n-3)}}_{q=1} a_n.\] Et donc \[a_{n-2q} = (-1)^q a_n \dfrac{n!}{(n-2q)! \times 2\times \ldots \times 2q \times (2n-2q-1)\times \ldots \times (2n-3)}.\] Soit \(a_{n-2q} = (-1)^q a_n \dfrac{n!}{(n-2q)!2^qq!\times (2n-2q-1)\times \ldots \times (2n-3)}\). On écrit au numérateur les \(q\) facteurs pairs qui manquent pour avoir le produit de \(2n-2q-1\) à \(2n-2\) au dénominateur :
    \[a_{n-2q} = (-1)^q a_n \binom{n}{2q} \dfrac{(2q)!\times(2n-2q)\times (2n-2q+2)\ldots \times (2n-4)\times(2n-2) }{2^qq!\times (2n-2q-1)\times (2n-2q)\times\ldots \times (2n-3)\times (2n-2)}.\] Comme \((2n-2q-1)\times (2n-2q)\times\ldots \times (2n-3)\times (2n-2) = \dfrac{(2n-2)!}{(2n-2q-2)!}\),
    \[a_{n-2q} = (-1)^q a_n \binom{n}{2q} \dfrac{(2q)! 2^q (n-q)(n-q+1)\times\ldots\times(n-1)(2n-2q-2)!}{2^q q! (2n-2)!}\] \[\phantom{a_{n-2q} }= (-1)^q a_n \binom{n}{2q}\dfrac{(n-1)!}{q!(n-q-1)!} \dfrac{(2q)!(2n-2q-2)!}{(2n-2)!} = (-1)^q a_n \dfrac{\binom{n}{2q} \binom{n-1}{q}}{\binom{2n-2}{2q}}.\] La dernière égalité traduit le fait que \(P(1) = 0\) pour une solution \(P\) non nulle.


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