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[ID: 1518] [Date de publication: 15 février 2021 14:55] [Catégorie(s): Endomorphismes opérant sur les polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 450
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:55

1. 1. Soit \(P=a_{n+1}X^{n+1}+\dots+a_0\in\mathbb{C}_{n+1}\left[X\right]\). Montrons que \(\Delta\left(P\right)\in\mathbb{C}_n\left[X\right]\). On a : \[\begin{aligned} \Delta\left(P\right)&=&\left(a_{n+1}\left(X+1\right)^{n+1}+a_{n}\left(X+1\right)^n+\dots+a_1\left(X+1\right)+a_0 \right)- \left(a_{n+1}X^{n+1}+a_n X^n+\dots+a_1X+a_0\right)\\ &=& \left(a_{n+1}X^{n+1}+ \underbrace{\dots}_{\textrm{ termes de degré $\leqslant n$}} \right) - \left(a_{n+1} X^{n+1} + \underbrace{\dots}_{\textrm{ termes de degré $\leqslant n$}} \right) \end{aligned}\] donc \(\deg \Delta\left(P\right)\leqslant n\) et \(\Delta \left(P\right)\in\mathbb{C}_n\left[X\right]\). Par ailleurs, si \(P,Q\in\mathbb{C}_{n+1}\left[X\right]\) et si \(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) alors : \[\begin{aligned} \Delta\left(\alpha P+ \beta Q\right)&=& \left(\alpha P+ \beta Q\right)\left(X+1\right)-\left(\alpha P+ \beta Q\right)\left(X\right)\\ &=& \alpha\left(P\left(X+1\right)-P\left(X\right)\right)+\beta \left(Q\left(X+1\right)-Q\left(X\right)\right)\\ &=&\alpha\Delta\left(P\right)+\beta \Delta\left(Q\right)\end{aligned}\] donc \(\Delta\) est linéaire.

   2. Soit \(m\geqslant 1\) et soit \(P=a_{m}X^{m}+\dots+a_0\) un polynôme de degré \(m\in C_{n+1}\left[X\right]\) avec \(m\leqslant n+1\). On a donc : \(a_m\neq 0\). Supposons que \(P\in{\rm Ker}\,\Delta\). Alors \(P\) vérifie \(P\left(X+1\right)=P\left(X\right)\) ce qui amène : \[a_{m}\left(X+1\right)^{m}+\dots+a_0 = a_{m}X^{m}+\dots+a_0 .\] Le coefficient du terme de degré \(m-1\) de \(P\left(X+1\right)\) est \(m a_{m} + a_{m-1}\) et celui de \(P\) est \(a_{m-1}\). Les deux polynômes étant égaux, il en est de même de leurs coefficients, ce qui amène \(m=0\) car \(a_m\neq 0\). On en déduit que \(P\) est un polynôme constant. Réciproquement, on vérifie que tout polynôme constant est élément du noyau de \(\Delta\) et donc \(\boxed{{\rm Ker}\,\Delta=\mathbb{R}_0\left[X\right]}\).

   3. D’après la formule du rang, \(\dim \mathop{\rm Im}\Delta=n+1\) et comme \(\dim \mathbb{C}_n\left[X\right]=n+1\), il vient \(\mathop{\rm Im}\Delta=\mathbb{C}_n\left[X\right]\). \(\Delta\) est donc surjective.

2. 1. On montre de la même façon que précédemment que \(\Delta\) est un endomorphisme.

   2. Montrons que \(\Delta\) est surjective. Soit \(P\in\mathbb{C}\left[X\right]\) et \(n=\deg P\). Par application de la partie précédente, \(\Delta_{|\mathbb{C}_{n+1}\left[X\right]}:\mathbb{C}_{n+1}\left[X\right] \rightarrow \mathbb{C}_{n}\left[X\right]\) est surjective. Comme \(P\in \mathbb{C}_{n}\left[X\right]\) il existe \(Q\in \mathbb{C}_{n+1}\left[X\right]\) tel que \(\Delta\left(Q\right)=P\). On en déduit que \(\Delta\) est surjective et que \(\boxed{\mathop{\rm Im}\Delta=\mathbb{C}\left[X\right]}\).

   3. Introduisons l’application \(\delta: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & P\left(X+1\right) \end{array} \right.\). On vérifie facilement que \(\delta\) est un endomorphisme de \(E\) et que \(\Delta=\delta-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). De plus, pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\), \(\delta^k \left(P\left(X\right)\right)=P\left(X+k\right)\). Comme les endomorphismes \(\delta\) et \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) commutent, la formule du binôme donne, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[\Delta^n=\left(\delta-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\right)^n=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{n-k}\delta^ k=\left(-1\right)^n \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \left(-1\right)^k \delta^k\] donc pour tout \(P\in E\) : \[\Delta^n \left(P\right)= \left(-1\right)^n \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \left(-1\right)^k P\left(X+k\right).\]

3. Remarquons que pour tout polynôme non constant de \(\mathbb{C}\left[X\right]\), \(\deg \Delta\left(P\right) =\deg \Delta\left(P\right)-1\). On en déduit que si \(\deg P<n\) alors \(\Delta^n\left(P\right)=0\) et en utilisant la relation établie dans la question précédente, on obtient :\(\boxed{\sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} P\left(k\right)=0}\)