Soit \(A=X^3+X^2+X+1\) et \(E=\mathbb{R}_n\left[X\right]\). Considérons l’application \[r: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & r\left(P\right) \end{array} \right.\]\(r\left(P\right)\) désigne le reste de la division euclidienne de \(P\) par \(A\).

  1. Montrer que \(r\) est bien définie et que \(r\in\mathfrak{L}\left(E\right)\)..

  2. Prouver que \(r^2=r\). Qu’en déduisez vous?

  3. Déterminer l’image et le noyau de \(r\).


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[ID: 1516] [Date de publication: 15 février 2021 14:55] [Catégorie(s): Endomorphismes opérant sur les polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 257
Par emmanuel le 15 février 2021 14:55
  1. Soit \(P\in E\). Par application du théorème de la division euclidienne, il existe un unique couple \(\left(Q,R\right)\in\left(\mathbb{R}\left[X\right]\right)^2\) tel que \(P=AQ+R\) et \(\deg R<3\). On a donc \(r\left(P\right)=R\) et \(r\) est bien définie. Si on considère un autre polynôme \(\widetilde P\in E\), il existe un couple \(\left(\widetilde Q,\widetilde R\right)\in\left(\mathbb{R}\left[X\right]\right)^2\) tel que \(\widetilde P=A\widetilde Q+\widetilde R\) et \(\deg \widetilde R<3\). De plus, pour tout \(\alpha,\widetilde\alpha\in\mathbb{R}\) : \[\alpha P + \widetilde \alpha \widetilde P = A\left(\alpha Q+\widetilde\alpha \widetilde Q\right)+ \left(\alpha R+\widetilde \alpha \widetilde R\right)\] et \(\deg \left(\alpha R+\widetilde\alpha \widetilde R\right)< 3\). Par unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de deux polynômes, on peut affirmer que le reste de la division euclidienne de \(\alpha P + \widetilde\alpha \widetilde P\) par \(A\) est \(\alpha R+\widetilde\alpha \widetilde R\). On prouve ainsi que \(r\left(\alpha P + \widetilde\alpha \widetilde P\right)=\alpha r\left(P\right) + \widetilde \alpha r\left(\widetilde P\right)\) et donc \(r\in \mathfrak{L}\left(E\right)\).

  2. Avec les notations de la question précédente, \(r\left(P\right)=R\) avec \(\deg R<3\). Donc \(R=0A+R\) et par unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne, \(r\left(R\right)=R\). On prouve ainsi que \(r^2=r\). \(r\) est donc un projecteur.

  3. Il est clair que le noyau de \(r\) est l’ensemble des polynômes de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) qui sont divisibles par \(A\). Il est aussi clair que \(\mathop{\rm Im}r\subset \mathbb{R}_2\left[X\right]\). Mais si \(P\in \mathbb{R}_2\left[X\right]\) alors \(r\left(P\right)=P\) donc on a aussi : \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\subset \mathop{\rm Im}r\) et donc \(\mathop{\rm Im}r=\mathbb{R}_2\left[X\right]\).


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