Soit l’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P-XP' \end{array} \right.\] Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme. Déterminer son noyau et son image.


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[ID: 1514] [Date de publication: 15 février 2021 14:55] [Catégorie(s): Endomorphismes opérant sur les polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 785
Par emmanuel le 15 février 2021 14:55

On montre facilement que \(\varphi\) est linéaire. Soit un polynôme \(P\in \operatorname{Ker}\varphi\). Si \(P\neq 0\), on peut écrire \(P=a_nX^n +a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_0\) avec \(a_n\neq 0\). Alors \(P=XP'\) d’où \(a_nX^n +\dots = na_nX^n +\dots\). En identifiant les termes de plus haut degré, on trouve que \(a_n(1-n)=0\). Donc, puisque \(a_n\neq 0\), \(n=1\). Mais si \(n=1\), \(P=aX+b\) et alors \(P=XP' \Rightarrow b=0\). Donc \(P=aX\). Réciproquement, si \(P=aX\), (\(a\in \mathbb{R}\)), on a bien \(P=XP'\). En conclusion, \(\boxed{ \operatorname{Ker}\varphi= \mathop{\mathrm{Vect}}(X)}\).

Déterminons \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi\). Soit \(Q=\sum_{k=0}^n b_kX^k\in \mathop{\mathrm{Im}}\varphi\). Alors il existe \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) tel que \(P-XP'=Q\). En examinant les degrés, il faut que \(\deg P=n\). Posons \(P=\sum_{k=0}^n a_kX^k\). On doit donc avoir \(\forall k \in [0,n]\), \((1-k)a_k=b_k\). Une condition nécessaire pour que \(Q\in \mathop{\mathrm{Im}}\varphi\) est donc que \(b_1=0\). Réciproquement, si \(b_1=0\), en posant \(a_k=\dfrac{b_k}{1-k}\) pour \(k\neq 1\) et \(a_1=0\), on a bien \(\varphi(P)=Q\). En conclusion, \(\boxed{ \mathop{\mathrm{Im}}\varphi=\{ b_nX^n +\dots +b_0; b_1=0 \} }\).


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