Considérons le \(C-\)espace vectoriel \(E=\mathbb{C}_5\left[X\right]\) et \(A=X^2+1\).

  1. Montrer que \[F=\left\{P\in \mathbb{C}_5\left[X\right] ~|~ A ~|~ P \right\}\] est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{C}_5\left[X\right]\)

  2. Déterminer une base et la dimension de \(F\).

  3. Déterminer un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).


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[ID: 1510] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 105
Par emmanuel le 15 février 2021 14:53
  1. On vérifie facilement que  : \(F=\left\{\left(aX^3+bX^2+cX+d\right)\left(X^2+1\right) ~|~ \left(a,b,c,d\right)\in\mathbb{C}^4\right\}=Vect\left(P_1,P_2,P_3,P_4\right)\) avec \(P_1=X^3\left(X^2+1\right)\), \(P_2=X^2\left(X^2+1\right)\), \(P_1=X\left(X^2+1\right)\) et \(P_1=\left(X^2+1\right)\). \(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. La famille \(\mathscr P=\left(P_1,P_2,P_3,P_4\right)\) est génératrice de \(F\). De plus si \(\left(a,b,c,d\right)\in\mathbb{C}^4\) est tel que \(aP_1+bP_2+cP_3+dP_4=0\) alors \(aX^3+bX^2+cX+d=0\) et \(a=b=c=d=0\). Cette famille est donc libre et elle forme une base de \(F\). On en déduit que \(\dim F=4\).

  3. Posons \(G=Vect\left(1,X\right)\). Il est clair que \(F\cap G=\left\{0\right\}\) et par application de la formule de Grassmann, \(\dim (F+G) = 6=\dim E\). On en déduit que \(F+G=E\) et donc que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\).


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