On pose \(P_0=1\) et pour tout \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\), on pose \[P_k=\dfrac{X\left(X-1\right) \dots\left(X-k+1\right)}{k!}.\]

  1. Montrer que \(\mathscr P=\left(P_0,\dots,P_n\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  2. Montrer que : \(\forall l\in\mathbb{Z},\quad \forall k\in\left]0,n\right[, \quad P_k\left(l\right)\in\mathbb{Z}\).

  3. Déterminer l’ensemble des polynômes \(P\) de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) vérifiant : \(\forall i\in\mathbb{Z},\quad P\left(i\right)\in\mathbb{Z}\).


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[ID: 1508] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 939
Par emmanuel le 15 février 2021 14:53
  1. Pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(\deg P_k=k\). On reconnaît une famille étagée en degré, on en déduit que \(\mathscr P\) est une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  2. Si \(k=1\), le résultat est évident. Supposons \(k>1\). Si \(l\geqslant k\) alors : \(P_k\left(l\right)=\dfrac{l\left(l-1\right) \dots\left(l-k+1\right)}{k!}=\boxed{\binom{l}{k}}\). Si \(l\in\llbracket 0,k-1\rrbracket\) on a \(P_k\left(l\right)=\boxed{0}\) et enfin si \(l<0\), on a : \[\begin{aligned} P_k\left(l\right)&=&\dfrac{-\left|l\right|\left(-\left|l\right|-1\right) \dots\left(-\left|l\right|-k+1\right)}{k!}\\ &=&\left(-1\right)^k\dfrac{\left|l\right|\left(\left|l\right|+1\right) \dots\left(\left|l\right|+k-1\right)}{k!}\\ &=&\boxed{\left(-1\right)^k\dbinom{\left|l\right|+k-1}{k}} \end{aligned}\] Dans chacun des trois cas, \(P_k\left(l\right)\in\mathbb{Z}\).

  3. Soit \(P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]\) vérifiant : \(\forall i\in\mathbb{Z},\quad P\left(i\right)\in\mathbb{Z}\). Dans la base \(\mathscr P\), \(P\) s’écrit : \(P=\sum_{k=0}^n a_k P_k\) avec \(a_k\in\mathbb{R}\). Mais, \(P\left(0\right)=a_0\) donc \(a_0\in\mathbb{Z}\). De même \(P\left(1\right)=a_0+a_1\) donc \(a_1\in\mathbb{Z}\). Supposons que \(a_0,a_1,\dots,a_k\in\mathbb{Z}\) pour \(k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket\) et montrons qu’il en est de même de \(a_{k+1}\). On a : \[\begin{aligned} P\left(k+1\right)&=&P_0\left(k+1\right)+a_1 P_1\left(k+1\right)+\dots+a_{k} P_{k}\left(k+1\right) + a_{k+1} P_{k+1}\left(k+1\right)\\ &=& \underbrace{P_0\left(k+1\right)+a_1 P_1\left(k+1\right)+\dots+a_{k} P_{k}\left(k+1\right)}_{\in\mathbb{Z}} + a_{k+1} \end{aligned}\] et comme \(P\left(k+1\right)\in\mathbb{Z}\), il en est de même de \(a_{k+1}\). On montre ainsi que tous les coefficients de \(P\) sont entiers. Réciproquement, un polynôme dont les coordonnées dans la base \(\mathscr P\) sont entières est à valeurs entières sur les entiers. En résumé, l’ensemble recherché est \(\boxed{\mathbb{Z}_n\left[X\right]}\).


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