Pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\) et \(a\in\mathbb{C}^*\), on pose \(P_k=X^k\left(a-X\right)^{n-k}\). Montrer que la famille \(\mathscr P=\left(P_0,\dots,P_n\right)\) est une base de \(\mathbb{C}_n\left[X\right]\).


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[ID: 1506] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 611
Par emmanuel le 15 février 2021 14:53

On propose deux démonstrations :

  1. Soient \(\alpha,\dots,\alpha_n\in\mathbb{C}\) tels que \(\sum_{k=0}^n \alpha_k X^k\left(a-X\right)^{n-k}=0\).

    • En remplaçant \(X\) par \(0\) dans cette égalité, on trouve : \(\alpha_0=0\) et celle-ci devient : \(\sum_{i=k}^n \alpha_k X^k\left(a-X\right)^{n-k}=0\).

    • Le terme de gauche de cette dernière égalité est un polynôme divisible par \(X\).
      On a alors : \(\sum_{k=1}^n \alpha_k X^{k-1}\left(a-X\right)^{n-k}=0\). On recommence comme en \(1.\), on montre que \(\alpha_1=0\).

    • On répète \(n-2\) fois ces opérations et on montre que \(\alpha_2=\dots=\alpha_n=0\).

    On a ainsi montré que \(\mathscr P\) est libre. Comme cette famille est de cardinal égal à la dimension de \(\mathbb{C}_n\left[X\right]\), on en déduit que c’est une base de \(\mathbb{C}_n\left[X\right]\).

  2. À partir de \(P_k(X) = X^{k-1}\left(a-X\right)^{n-k}\), on définit \(\widetilde P_k(X) = X^n P_k({\scriptstyle 1\over\scriptstyle X}) = \left(aX - 1\right)^{n-k}\). Les \((\widetilde P_k(X))_{0\leqslant k \leqslant n}\) forment une famille échelonnée en degrés, donc une base de \(\mathbb{C}_n\left[X\right]\).


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