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[ID: 1504] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 801
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:53

1. En utilisant la formule du binôme, on calcule facilement que, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(P_k=\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}X^{i}\). On a en particulier \(\deg P_k=k\) et on reconnaît une famille de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) étagée en degré. Donc elle est libre et comme son cardinal est égal à la dimension de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\), elle forme une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

2. L’argument clé dans la démonstration précédente est que : \(\forall k\in\llbracket 0,n\rrbracket,\quad \deg P_k=k\). Une famille de \(n+1\) polynômes de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) vérifiant cette propriété forme toujours une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

3. Il est clair que pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(\deg R_k=k\). La famille \(\mathscr R\) forme donc une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).