1. Pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), on pose \(P_k=\left(X+1\right)^{k+1}-X^{k+1}\). Montrer que la famille \(\mathscr P=\left(P_0,\dots,P_n\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  2. En étudiant la preuve de la question précédente, déterminer une condition suffisante pour qu’une famille \(\left(Q_0,\dots,Q_n\right)\) de polynômes de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) forme une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  3. En utilisant ce critère, montrer que la famille \(\mathscr R=\left(R_0,\dots,R_n\right)\) où, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(R_k=\left(X-a\right)^k+\left(X+a\right)^k\), \(a\in\mathbb{R}\) forme une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).


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[ID: 1504] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 801
Par emmanuel le 15 février 2021 14:53
  1. En utilisant la formule du binôme, on calcule facilement que, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(P_k=\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}X^{i}\). On a en particulier \(\deg P_k=k\) et on reconnaît une famille de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) étagée en degré. Donc elle est libre et comme son cardinal est égal à la dimension de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\), elle forme une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  2. L’argument clé dans la démonstration précédente est que : \(\forall k\in\llbracket 0,n\rrbracket,\quad \deg P_k=k\). Une famille de \(n+1\) polynômes de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) vérifiant cette propriété forme toujours une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  3. Il est clair que pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(\deg R_k=k\). La famille \(\mathscr R\) forme donc une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).


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