Soit \(P\) un polynôme de \(\mathbb R[X]\), de degré inférieur ou égal à \(n\).
Démontrer que \[\sum_{k=0}^n\dfrac{P^{(k)}(0)}{(k+1)!}x^{k+1} = \sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{P^{(k)}(x)}{(k+1)!}x^{k+1}.\]


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[ID: 1502] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 816
Par emmanuel le 15 février 2021 14:53

Il suffit de le vérifier pour une famille génératrice de \(\mathbb R_n[X]\) : \(X^m\). En posant \(\delta_{i,j} = 1\) si \(i=j\) et \(\delta_{i,j} = 0\) sinon, le membre de gauche égale \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^n\dfrac{P^{(k)}(0)}{(k+1)!}x^{k+1} &= \sum_{k=0}^n\dfrac{\delta_{k,m}}{(k+1)!}x^{k+1}\\ &= \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\\ &= \int_0^x P(t)\,\textrm dt\end{aligned}\] D’autre part le membre de droite égale \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{P^{(k)}(x)}{(k+1)!}x^{k+1} &= \sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{m(m-1)\ldots(m-k+1)x^{n-k}}{(k+1)!}x^{k+1}\\ &= x^{m+1}\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{m!}{(m-k)!(k+1)!}\\ &= x^{m+1}\sum_{k=0}^m(-1)^{k}\dfrac{m!}{(m-k)!(k+1)!}\\ &= \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\sum_{k=0}^m(-1)^{k}\dfrac{(m+1)!}{(m-k)!(k+1)!}\\ &= \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\sum_{k=0}^m(-1)^{k}\binom{m+1}{k+1}\\ &= \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\sum_{k=1}^{m+1}(-1)^{k-1}\binom{m+1}{k}\\ &= \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\left( 1 - \underbrace{\sum_{k=0}^{m+1}(-1)^{k}\binom{m+1}{k}}_{=0}\right) \\ &= \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\end{aligned}\] On a bien l’égalité demandée. De plus on a \[\boxed {\forall P\in\mathbb{R}[X],\quad\sum_{k=0}^\infty\dfrac{P^{(k)}(0)}{(k+1)!}x^{k+1} = \sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}\dfrac{P^{(k)}(x)}{(k+1)!}x^{k+1}= \int_0^x P(t)\,\textrm dt}.\]


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