Soient \[P_1=2X^2-X-1, \quad P_2=X^2+2X,\quad P_3=X^2-1\] Montrer que la famille \(\mathscr P=\left(P_1,P_2,P_3\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).


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[ID: 1500] [Date de publication: 15 février 2021 14:53] [Catégorie(s): L'espace vectoriel des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 507
Par emmanuel le 15 février 2021 14:53

Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 P_1+\alpha_2 P_2+\alpha_3 P_3=0\) alors avec \(X=1\), on obtient que \(2\alpha_2=0\), c’est-à-dire \(\alpha_2=0\). On a donc \(\alpha_1 P_1+\alpha_3 P_3=0\). Mais ces deux polynômes ne sont pas proportionnels donc \(\alpha_1=\alpha_3=0\). La famille \(\mathscr P\) est donc libre. Comme \(\mathop{\mathrm{Card}}\left(\mathscr P\right)=3=\dim \mathbb{R}_2\left[X\right]\), c’est une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).


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