Programmer la suite définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = \dfrac{1 - \sqrt5}{2}\) et \(\forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\).

  1. Que valent \(u_{20}\), \(u_{50}\), \(u_{100}\) ?

  2. Trouvez-vous les mêmes résultats que votre voisin ?

  3. Démontrer que \(\forall n \in \mathbb N, u_{n} = u_1^n\).

  4. Les résultats sont ils en accord avec ceux des questions précédentes ? Pourquoi ?


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[ID: 1498] [Date de publication: 15 février 2021 14:52] [Catégorie(s): Récurrences linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 623
Par emmanuel le 15 février 2021 14:52
  1. On trouve par exemple comme valeurs approchées \(u_{20} = - 10^{-7}\), \(u_{50}= -4\times 10^{-7}\) et \(u_{100} = -11892\).

  2. Pour des raisons qui apparaitront plus tard, il n’y a pas de raison de trouver la même chose pour \(u_{100}\), sauf à travailler avec le même logiciel sur le même type de matériel.

  3. Les deux suites \((u_n)\) et \((u_1^n)\) vérifient la même relation de récurrence d’ordre \(2\) et coïncident sur les deux premiers termes. Elles sont donc égales.

  4. On a \(u_{100} = 10^{-27}\) environ, à comparer avec \(-11892\) trouvé précédemment. Nous sommes ici en présence d’un cas où les accumulations d’erreurs d’arrondis provoquent à coup sûr ce phénomène.

    Les suites solutions de \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) sont de la forme \(ar_1^n+br_2^n\), où \(a\) et \(b\) sont déterminés par les conditions initiales \(u_0\) et \(u_1\). Une petite erreur sur \(u_0\) et \(u_1\) entraîne une petite erreur sur \(a\) et \(b\). Mais cette erreur sur \(b\) fait que \(b\) se retrouve non nul, ici en l’occurrence strictement négatif, au lieu d’être nul, et de ce fait, la suite programmée tend vers \(-\infty\). De fait dès que l’on trouve deux termes consécutifs de la suite qui sont de même signe, la suite va tendre vers \(-\infty\) (ou \(+\infty\))


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