Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et soient \(f_1,\dots,f_n\in\mathfrak{L}\left(E,\mathbb{K}\right)\) \(n\) formes linéaires sur \(E\). Montrer que la famille \(f=\left(f_1,\dots,f_n\right)\) est une base de \(\mathfrak{L}\left(E,\mathbb{K}\right)\) si et seulement si l’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathbb{K}^n \\ x & \longmapsto & \left(f_1\left(x\right),\dots,f_n\left(x\right)\right) \end{array} \right.\) est un isomorphisme.


Barre utilisateur

[ID: 1496] [Date de publication: 15 février 2021 14:46] [Catégorie(s): Formes linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 117
Par emmanuel le 15 février 2021 14:46
  • Supposons que \(f\) est libre. Soit \(x\in\operatorname{Ker} \theta\). Alors \(f_1\left(x\right)=\dots=f_n\left(x\right)=0\). Par l’absurde, supposons que \(x\neq 0\). Considérons un supplémentaire \(H\) à \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(x\right)\) dans \(E\) et considérons la forme linéaire \(\varphi\) donnée par \(\varphi_{|H}=0\) et \(\varphi\left(x\right)=1\). Comme \(f\) est une base de \(\mathfrak{L}\left(E,\mathbb{K}\right)\), il existe \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tels que \(\varphi=\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i\). Mais alors \(\varphi\left(x\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i\left(x\right)\) et on aboutit à une absurdité. Donc \(x=0\) et \(\operatorname{Ker}\theta=\left\{0\right\}\). Donc \(\theta\) est injective. Comme \(\dim \mathfrak{L}\left(E,\mathbb{K}\right)=\dim \mathbb{K}^n=n\), \(\theta\) est un isomorphisme.

  • Prouvons la réciproque par contraposée. Supposons que \(f\) est liée et montrons que \(\theta\) n’est pas injective. Un des vecteurs de \(f\) peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres. Supposons, quitte à renuméroter les vecteurs de \(f\), que ce soit le dernier. Alors il existe \(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}\in\mathbb{R}\) tel que \(f_n=\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_i f_i\). Si \(x\in E\) alors \[\theta\left(x\right)=\left(f_1\left(x\right),\dots,f_{n-1}\left(x\right),\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_i f_i\left(x\right)\right)\in Vect\left(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}\right)\]\[\forall i\in\llbracket 1,n-1\rrbracket,\quad \varepsilon_i=\left(0,\dots,0,\underbrace{1}_{\textrm{ i-ème place}},0,\dots,\lambda_i\right).\] On montre sans difficulté que la famille \(\left(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}\right)\) est libre donc \(\dim Vect\left(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}\right) =n-1\). Alors \(\dim \mathop{\mathrm{Im}} \theta \leqslant n-1\) et \(\theta\) n’est pas surjective donc n’est pas un isomorphisme.


Documents à télécharger