Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(u\in L(E)\) un endomorphisme. On suppose que \(\forall \varphi\in E^{\star}\), \(\varphi\circ u = 0_{E^{\star}}\). Montrer que \(u=0_{L(E)}\).


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[ID: 1494] [Date de publication: 15 février 2021 14:46] [Catégorie(s): Formes linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 433
Par emmanuel le 15 février 2021 14:46

Supposons que \(u\) ne soit pas nulle. Soit \(x_0\in E\) tel que \(y_0=u\left(x_0\right)\neq 0\). Posons \(F=Vect\left(y_0\right)\) et considérons un supplémentaire \(G\) à \(F\) dans \(E\). Ce dernier existe car \(E\) est de dimension finie. On sait que tout \(x\in E\) se décompose de manière unique sous la forme \(x=\alpha y_0+x_G\)\(x_G\in G\) et \(\alpha\in \mathbb{K}\). On introduit l’application \(\varphi\) sur \(E\) définie par \(\varphi\left(x\right)=\alpha\). On vérifie que \(\varphi\) est linéaire. Si \(x=\alpha y_0+x_G\) et si \(x'=\alpha' y_0+x_G'\) sont deux vecteurs de \(E\) alors par unicité de la décomposition d’un vecteur sur \(E=F\oplus G\), pour \(a,a'\in\mathbb{K}\), le vecteur \(a x+a'x'\) se décompose sous la forme \(ax+a'x'= \left(a\alpha+a'\alpha'\right)y_0+\left(ax_G+a'x_G'\right)\) et \(\varphi\left(ax+a'x'\right)=a\alpha+a'\alpha'=a\varphi\left(x\right)+a'\varphi\left(x'\right)\). De plus, \(\varphi\left(y_0\right)=1\) donc \(\varphi\) n’est pas nulle et \(\varphi\left(u\left(x_0\right)\right)\) non plus. On aboutit alors à une contradiction et \(u\) est nulle.


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