Soient \(f\) et \(g\) des formes linéaires sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  \(E\) de dimension finie telles que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}g\). Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbb{K}\) tel que \(f=\alpha \cdot g\).


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[ID: 1492] [Date de publication: 15 février 2021 14:46] [Catégorie(s): Formes linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 9
Par emmanuel le 15 février 2021 14:46

Si \(f\equiv 0\), le résultat est clair. Sinon, il existe \(x\in E\) tel que \(f\left(x\right)\neq 0\). Par conséquent \(Vect\left( x\right)\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont supplémentaires. Puisque \(g\left(x\right)\neq 0\), on peut trouver \(\alpha\in \mathbb{K}\) tel que \(f\left(x\right)=\alpha g\left(x\right)\). On pose \(h=f-\alpha g\). L’application \(h\) est nulle sur \(\operatorname{Ker}f\) et \(h\left(x\right)=0\) donc \(h\equiv 0\) d’où le résultat.


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