Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\). Montrer que pour tout \(x\in E \setminus \operatorname{Ker}\varphi\), \(\operatorname{Ker}\varphi\) et \(Vect{\left(x\right)}\) sont supplémentaires dans \(E\).


Barre utilisateur

[ID: 1490] [Date de publication: 15 février 2021 14:46] [Catégorie(s): Formes linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 722
Par emmanuel le 15 février 2021 14:46

Posons \(F=\operatorname{Ker}\varphi + Vect{\left(x\right)}\). Comme \(\dim \operatorname{Ker}\varphi = n-1\), on a la disjonction : \(\dim F = n-1 \quad \textrm{ ou} \quad\dim F =n\). Si \(\dim F=n-1\) alors \(F=\operatorname{Ker}\varphi\) et forcément \(x=0\) ce qui n’est pas possible par hypothèse. Donc \(\dim F=n\) et \(\operatorname{Ker}\varphi + Vect{\left(x\right)}=E\). Si \(u\in \operatorname{Ker}\varphi \cap Vect{\left(x\right)}\) alors il existe \(\alpha\in \mathbb{K}\) tel que \(u=\alpha \cdot x\) et \(0=\varphi\left(u\right)=\alpha\varphi\left(x\right)\). Comme \(x\in E \setminus \operatorname{Ker}\varphi\), \(\varphi\left(x\right)\neq 0\) et \(\alpha=0\) ce qui prouve que \(u=0\) et donc que \(\operatorname{Ker}\varphi \cap Vect{\left(x\right)}=\left\{0\right\}\). \(\operatorname{Ker}\varphi\) et \(Vect{\left(x\right)}\) sont bien supplémentaires dans \(E\).


Documents à télécharger