Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension finie \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(E^*\) le \(K\)-espace vectoriel des formes linéaires sur \(E\), appelée dual de \(E\). Montrer que \(E\) et \(E'\) sont des \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel s  isomorphes.


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[ID: 1488] [Date de publication: 15 février 2021 14:46] [Catégorie(s): Formes linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Dual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel
Par emmanuel le 15 février 2021 14:46

Considérons \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) une base de \(E\). Pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), on note \(e_i^*\) la forme linéaire sur \(E\) définie par \(e_i^*\left(e_j\right)=\delta_{i,j}\). On va montrer que la famille \(e^*=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) est une base de \(E^*\) appelée base duale de la base \(E\).

  • La famille \(e^*\) est libre. En effet, si \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K}\) sont tels que \(\varphi=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^*=0\) alors pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\varphi(e_i)=\alpha_i=0\).

  • La famille \(e^*\) engendre \(E^*\). Soit \(\varphi\in E^*\). Posons \(\alpha_i=\varphi\left(e_i\right)\). Alors, on vérifie que \(\varphi=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^*\). En effet, si \(x=\sum_{i=1}^n \gamma_i e_i\), \(\varphi(x)= \sum_{i=1}^n \gamma_i \varphi(e_i)=\sum_{i=1}^n \gamma_i \alpha_i\). Mais on a aussi \(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^* (x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \gamma_i\).

Les \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel s \(E\) et \(E^*\) sont alors de même dimension et donc isomorphes.


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