Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle. Démontrer l’équivalence des deux propriétés suivantes :

  1. Il existe \(f\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) tel que \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \operatorname{Ker}f\).

  2. La dimension de \(E\) est paire.


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[ID: 1486] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 733
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43
  • Soit \(f\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) tel que \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \operatorname{Ker}f\). D’après la formule du rang : \(\dim E = \dim {\rm Ker}\,f +\dim \mathop{\rm Im}f=2\dim {\rm Ker}\,f\) et \(\dim E\) est bien pair.

  • Réciproquement, si \(\dim E=2n\)\(n\in\mathbb{N}^*\) alors considérons une base \(\left(e_1,\dots,e_n,e'_1,\dots,e'_n\right)\) de \(E\) ainsi que l’endomorphisme \(f\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) donné par : \(\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket f\left(e_i\right)=e'_i \quad \textrm{ et} \quad f\left(e'_i\right)=0\). On vérifie facilement que \(f\) est linéaire, que \({\rm Ker}\,f= Vect\left(e'_1,\dots,e'_n\right)\) et que \(\mathop{\rm Im}f= Vect\left(e'_1,\dots,e'_n\right)\).


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