Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  et \(f,g\in\mathfrak{L}\left(E\right)\). Montrer que :

  1. \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(f+g\right) \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}f + \mathop{\mathrm{rg}}g\)

  2. \(\left|\mathop{\mathrm{rg}}f - \mathop{\mathrm{rg}}g\right| \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}\left(f-g\right)\).


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[ID: 1482] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 95
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43
  1. On a \[\mathop{\mathrm{rg}}\left(f+g\right) = \dim \mathop{\mathrm{Im}}\left(f+g\right) \leqslant\dim \mathop{\mathrm{Im}}f + \dim \mathop{\mathrm{Im}}g\] car \(\mathop{\mathrm{Im}} \left(f+g\right)\subset \mathop{\mathrm{Im}}f + \mathop{\mathrm{Im}}g\).

  2. Par ailleurs \[\mathop{\mathrm{rg}}f = \mathop{\mathrm{rg}}\left(f-g+g\right) \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}\left(f-g\right) + \mathop{\mathrm{rg}}g\] d’où \(\mathop{\mathrm{rg}}f - \mathop{\mathrm{rg}}g \leqslant\mathop{\mathrm{rg}} \left(f-g\right)\). On montre de même que \(\mathop{\mathrm{rg}}g - \mathop{\mathrm{rg}}f \leqslant\mathop{\mathrm{rg}} \left(g-f\right)\). Comme \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(f-g\right)= \mathop{\mathrm{rg}}\left(g-f\right)\), on en déduit l’inégalité.


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