Soit \(E= \mathbb{R}_{n}[X]\) et \(Q\in E\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P\in E\) vérifiant \(P'+P=Q\).


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[ID: 1480] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 462
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43

Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{n}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}_{n}[X] \\ P & \longmapsto & P'+P \end{array} \right.\). On vérifie facilement que \(\varphi\in L\left( \mathbb{R}_{n}[X] \right)\). De plus \(\varphi\) est injective. En effet, si \(P\in\operatorname{Ker}\varphi\) alors \(P+P'=0\) et \(\deg P=\deg P'\). Ceci n’est possible que si \(P=0\) et montre que \(\operatorname{Ker}\varphi=\left\{0\right\}\). Comme \(\dim \mathbb{R}_{n}[X] =n+1\), on peut affirmer que \(\varphi\) est un automorphisme. On sait en effet d’après le cours qu’un endomorphisme injectif dans un espace de dimension finie est bijectif. Si \(Q\in \mathbb{R}_{n}[X]\), il existe alors un unique polynôme \(P\in \mathbb{R}_{n}[X]\) tel que \(\varphi\left(P\right)=Q\), c’est-à-dire tel que \(P+P'=Q\).


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