Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(u,v\in L(E)\). Montrer que \[u^2\circ v -u\circ v \circ u +\mathop{\mathrm{id}}\nolimits=0 \Rightarrow u\in GL(E)\]


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[ID: 1478] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 841
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43

On a \(u\circ\left(v\circ u-u\circ v\right)= \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) donc \(u\) admet un inverse à droite donné par \(v\circ u-u\circ v\). Comme \(E\) est de dimension finie, on en déduit que \(u\) est inversible.


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