On considère \((n+1)\) réels distincts \((x_0,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\) et l’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{\mathbb{R} }_{n}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}^{n+1} \\ P & \longmapsto & \bigl(P(x_0),\dots,P(x_n)\bigr) \end{array} \right.\]

  1. Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.

  2. En déduire que si \((y_0,\dots,y_n)\in \mathbb{R}^{n+1}\), il existe un unique polynôme \(P\in \mathbb{R}_{n}[X]\) tel que \(\forall i\in [0,n]\), \(P(x_i)=y_i\) (polynôme interpolateur de Lagrange).

  3. Soient deux réels distincts \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\) et quatre réels \((\alpha,\beta,\delta,\gamma) \in \mathbb{R}^{4}\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) vérifiant \[P(a) = \alpha,~P'(a)=\beta,~P(b)=\delta,~P'(b)=\gamma\]


Barre utilisateur

[ID: 1476] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Polynômes interpolateurs de Lagrange
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43
  1. On montre facilement que \(\varphi\) est linéaire. Si \(P\in\operatorname{Ker}\varphi\) alors \(P(x_0)=\dots=P(x_n)=0\). Donc \(P\) est de degré au plus \(n\) et admet \(n+1\) racines. Ceci n’est possible que si \(P=0\). Donc \(\varphi\) est injective. Comme \(\dim \mathbb{R}^{n+1}=\dim \mathbb{\mathbb{R} }_{n}[X] =n+1\), on en déduit, grâce à la formule du rang que \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}\varphi=n+1\) et donc \(\varphi\) est surjective. On prouve ainsi que \(\varphi\) est un isomorphisme.

  2. Le résultat annoncé dans cette question découle directement de la définition d’une bijection.

  3. On procède de même qu’avant. On considère l’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{3}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}^4 \\ P & \longmapsto & \left(P(a),P'(a),P(b),P'(b)\right) \end{array} \right.\). On montre facilement qu’elle est linéaire. Soit \(P\in\operatorname{Ker}\theta\). Alors \(a\) et \(b\) sont des racines doubles de \(P\). Mais \(a\) et \(b\) sont distincts et \(P\) de degré au plus \(3\). Ceci n’est possible que si \(P=0\). Donc \(\operatorname{Ker}\theta=\left\{0\right\}\) et \(\theta=0\). On montre comme avant, en utilisant la formule du rang, que \(\theta\) est surjective. Donc \(\theta\) est un isomorphisme. En conséquence de quoi il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) vérifiant \(P(a) = \alpha,~P'(a)=\beta,~P(b)=\delta,~P'(b)=\gamma\).


Documents à télécharger

Polynômes interpolateurs de Lagrange
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice