Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(u\in \mathfrak{L}_{}(E)\). Montrer que \[(\operatorname{Ker}u = \mathop{\mathrm{Im}}u ) \Longleftrightarrow (u^2=0 \textrm{ et } n=2\mathop{\mathrm{rg}}(u) )\]


Barre utilisateur

[ID: 1474] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1062
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43

Soit \(u\in \mathfrak{L}_{}(E)\) tel que \(\operatorname{Ker}u = \mathop{\mathrm{Im}}u\). Soit \(x\in E\) alors \(u\left(x\right)\in\mathop{\mathrm{Im}} u=\operatorname{Ker}u\) donc \(u^2(x)=0\) et \(u^2=0\). De plus d’après la formule du rang, \(\dim E=\dim \operatorname{Ker}u+\dim \mathop{\mathrm{Im}}u=2\dim \mathop{\mathrm{Im}}u=2\mathop{\mathrm{rg}}(u)\).

Réciproquement, si \(u^2=0\) et si \(n=2\mathop{\mathrm{rg}}(u)\) alors \(\operatorname{Ker}u = \mathop{\mathrm{Im}}u\). En effet, comme \(u^2=0\), il est clair que \(\mathop{\mathrm{Im}}u\subset \operatorname{Ker}u\). La formule du rang amène \(\dim E=\dim \operatorname{Ker}u+\dim \mathop{\mathrm{Im}}u\) et comme \(n=2\mathop{\mathrm{rg}}(u)\), \(\dim \operatorname{Ker}u=\dim \mathop{\mathrm{Im}}u\). On en déduit le résultat.


Documents à télécharger