Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(F\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(p\) et \(u\in L(E,F)\). Montrer que \(\mathop{\mathrm{rg}}(u) \leqslant\min( n,p)\).


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[ID: 1472] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 604
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43

Comme \(\mathop{\rm Im}u \subset F\), \(\mathop{\mathrm{rg}}(u)=\dim \mathop{\rm Im}u\leqslant\dim F=p\). De plus, par la formule du rang, \(\mathop{\mathrm{rg}}(u)=n-\dim \operatorname{Ker}u\leqslant n\) d’où \(\mathop{\mathrm{rg}}(u) \leqslant\min( n,p)\).


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