Déterminer toutes les applications linéaires de \(\mathbb{R}^{2}\) vers \(\mathbb{R}^{2}\).


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[ID: 1470] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 12
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43

Soit \(\left(e_1,e_2\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\) et soit \(u:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}^2\) une application linéaire. Alors pour tout \(v=x e_1+ye_2\in\mathbb{R}^2\), on a : \(u\left(v\right)=xu\left(e_1\right)+yu\left(e_2\right)\). Réciproquement, si on se donne deux vecteurs \(v_1,v_2\in\mathbb{R}^2\) et si on considère l’application \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & x v_1+y v_2 \end{array} \right.\) on montre facilement qu’elle est linéaire. On en déduit que \(L\left(\mathbb{R}^2\right)=\left\{\left(x,y\right)\mapsto x v_1+y v_2 ~|~ v_1,v_2\in\mathbb{R}^2 \right\}\).


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